বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ — অষ্টম শ্রেণি গণিত

(a+b)² a³+b³ ∑ ax²+bx √ গ.সা.গু ∫ ল.সা.গু

📐 অষ্টম শ্রেণি — গণিত (NCTB)

🔢

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

চতুর্থ অধ্যায় · অষ্টম শ্রেণি গণিত

(a + b)² = a² + 2ab + b² | a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

📖 অধ্যায় পরিচিতি

দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে বীজগণিতের প্রয়োগ ও ব্যবহার ব্যাপকভাবে হয়ে থাকে। বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগণিতীয় সূত্র বা সংক্ষেপে সূত্র বলা হয়।

সপ্তম শ্রেণিতে প্রথম চারটি সূত্র ও এদের সাথে সম্পৃক্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। এই অধ্যায়ে সেগুলো পুনরুল্লেখ করা হয়েছে এবং দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ ও ঘন নির্ণয়, মধ্যপদ বিশ্লেষণ, উৎপাদক এবং গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় করা বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

🎯 বর্গের সূত্র

🎯 ঘনের সূত্র

🎯 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

🎯 গ.সা.গু.

🎯 ল.সা.গু.

🎯 মধ্যপদ বিশ্লেষণ

📐 ধারা ৪.১

✏️ বীজগণিতীয় সূত্রাবলি (বর্গ)

(a + b)² এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা অনুযায়ী, সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। তাই:

🔷 সূত্র ১

(a + b)² = a² + 2ab + b²

দুইটি রাশির যোগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ + ২ × ১ম × ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ

🔷 সূত্র ২

(a − b)² = a² − 2ab + b²

দুইটি রাশির বিয়োগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ − ২ × ১ম × ২য় + ২য় রাশির বর্গ

🔹 সূত্র ৩

a² − b² = (a + b)(a − b)

দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুটির যোগফল × বিয়োগফল

🔹 সূত্র ৪

(x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

প্রথম পদ একই দ্বিপদী রাশির গুণফল = প্রথম পদের বর্গ + (a+b)×x + ab

🔸 অনুসিদ্ধান্তসমূহ

অনুসিদ্ধান্ত ১ ›
a² + b² = (a+b)² − 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ২ ›
a² + b² = (a−b)² + 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ৩ ›
(a+b)² = (a−b)² + 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৪ ›
(a−b)² = (a+b)² − 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৫ ›
2(a²+b²) = (a+b)² + (a−b)²

অনুসিদ্ধান্ত ৬ ›
4ab = (a+b)² − (a−b)²

✏️ উদাহরণ

🔢 উদাহরণ ১

3x + 5y এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান:

(3x + 5y)² = (3x)² + 2 × 3x × 5y + (5y)²

= 9x² + 30xy + 25y²

🔢 উদাহরণ ২ — বর্গের সূত্রে সংখ্যা

বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে 25 এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান:

(25)² = (20 + 5)² = (20)² + 2×20×5 + (5)²

= 400 + 200 + 25 = 625

🔢 উদাহরণ ৩

4x − 7y এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান:

(4x − 7y)² = (4x)² − 2×4x×7y + (7y)²

= 16x² − 56xy + 49y²

🔢 উদাহরণ ৪

a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, a² + b² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

a² + b² = (a+b)² − 2ab = (8)² − 2×15 = 64 − 30 = 34

🔢 উদাহরণ ৫

a − b = 7 এবং ab = 60 হলে, a² + b² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

a² + b² = (a−b)² + 2ab = (7)² + 2×60 = 49 + 120 = 169

🔢 উদাহরণ ৬

x − y = 3 এবং xy = 10 হলে, (x + y)² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

(x+y)² = (x−y)² + 4xy = (3)² + 4×10 = 9 + 40 = 49

🔢 উদাহরণ ৭

a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, (a − b)² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

(a−b)² = (a+b)² − 4ab = (7)² − 4×10 = 49 − 40 = 9

🔢 উদাহরণ ৮

x − 1/x = 5 হলে, (x + 1/x)² এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

(x + 1/x)² = (x − 1/x)² + 4·x·(1/x) = (5)² + 4 = 25 + 4 = 29

🔢 উদাহরণ ৯ — সূত্র প্রয়োগে গুণ

সূত্রের সাহায্যে 3p + 4 কে 3p − 4 দ্বারা গুণ কর।

সমাধান: [∵ (a+b)(a−b) = a²−b²]

(3p+4)(3p−4) = (3p)² − (4)² = 9p² − 16

🔢 উদাহরণ ১০

সূত্রের সাহায্যে 5m + 8 কে 5m + 9 দ্বারা গুণ কর।

সমাধান: [(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab]

(5m+8)(5m+9) = (5m)² + (8+9)×5m + 8×9

= 25m² + 85m + 72

🔢 উদাহরণ ১১ — সরলীকরণ

সরল কর: (5a−7b)² + 2(5a−7b)(9b−4a) + (9b−4a)²

সমাধান: [ধরি, 5a−7b = x এবং 9b−4a = y]

= x² + 2xy + y² = (x+y)²

= (5a−7b+9b−4a)² = (a+2b)²

= a² + 4ab + 4b²

🔢 উদাহরণ ১৩ — মান নির্ণয়

x=4, y=−8, z=5 হলে, 25(x+y)² − 20(x+y)(y+z) + 4(y+z)² এর মান কত?

সমাধান: [ধরি, x+y=a, y+z=b]

= 25a² − 20ab + 4b² = (5a)² − 2·5a·2b + (2b)² = (5a−2b)²

= {5(x+y) − 2(y+z)}² = (5x+3y−2z)²

= {5×4 + 3×(−8) − 2×5}² = (20−24−10)² = (−14)² = 196

📐 ত্রিপদী রাশির বর্গ

🔷 সূত্র (ত্রিপদী)

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

তিনটি রাশির যোগফলের বর্গ — প্রতিটির বর্গের যোগফল এবং প্রতিটি জোড়ার ২ গুণ গুণফলের যোগফল

🔢 উদাহরণ ১৪

2x + 3y + 5z এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান:

(2x+3y+5z)² = (2x)²+(3y)²+(5z)² + 2·2x·3y + 2·3y·5z + 2·2x·5z

= 4x² + 9y² + 25z² + 12xy + 30yz + 20xz

🔢 উদাহরণ ১৫

5a − 6b − 7c এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান: [5a=x, −6b=y, −7c=z ধরে]

(5a)²+(−6b)²+(−7c)² + 2(5a)(−6b) + 2(−6b)(−7c) + 2(5a)(−7c)

= 25a² + 36b² + 49c² − 60ab + 84bc − 70ac

✍️ কাজ করো

2a + 5b এর বর্গ নির্ণয় কর।
4x − 7 এর বর্গ নির্ণয় কর।
a + b = 7 এবং ab = 9 হলে, a² + b² এর মান নির্ণয় কর।
x − y = 5 এবং xy = 6 হলে, (x+y)² এর মান নির্ণয় কর।
সূত্রের সাহায্যে (5x+7y) ও (5x−7y) এর গুণফল নির্ণয় কর।
সূত্রের সাহায্যে ax + by + c এবং 4x + 5y − 7z এর বর্গ নির্ণয় কর।

🎯 অনুশীলনী ৪.১ — বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)

তথ্য: x² − 4x + 1 = 0

প্রশ্ন ১। (x − 1/x)² এর মান কত?

প্রশ্ন ২। x⁴ + 1/x⁴ = কত?

তথ্য: a² − 5a + 1 = 0

প্রশ্ন ৩। a + 1/a এর মান কোনটি?

প্রশ্ন ৪। a − 1/a এর মান কোনটি?

তথ্য: x − 1/x = 5

প্রশ্ন ৫। (x + 1/x)² এর মান কোনটি?

📐 ধারা ৪.২

🧊 ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত

🔷 সূত্র ৫

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= a³ + b³ + 3ab(a+b)

দুই রাশির যোগফলের ঘন — বিশদ বিস্তার করে প্রাপ্ত

🔷 সূত্র ৬

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
= a³ − b³ − 3ab(a−b)

দুই রাশির বিয়োগফলের ঘন

অনুসিদ্ধান্ত ৭ ›
a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b)

অনুসিদ্ধান্ত ৮ ›
a³ − b³ = (a−b)³ + 3ab(a−b)

✏️ উদাহরণ

🔢 উদাহরণ ১৬

3x + 2y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান:

(3x+2y)³ = (3x)³ + 3(3x)²(2y) + 3(3x)(2y)² + (2y)³

= 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

🔢 উদাহরণ ১৭

2a + 5b এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান:

(2a+5b)³ = (2a)³ + 3(2a)²(5b) + 3(2a)(5b)² + (5b)³

= 8a³ + 60a²b + 150ab² + 125b³

🔢 উদাহরণ ১৮

m − 2n এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান:

(m−2n)³ = m³ − 3m²(2n) + 3m(2n)² − (2n)³

= m³ − 6m²n + 12mn² − 8n³

🔢 উদাহরণ ১৯

4x − 5y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান:

(4x−5y)³ = (4x)³ − 3(4x)²(5y) + 3(4x)(5y)² − (5y)³

= 64x³ − 240x²y + 300xy² − 125y³

🔢 উদাহরণ ২০

x + y − z এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান: [{(x+y)−z}³ আকারে]

= (x+y)³ − 3(x+y)²z + 3(x+y)z² − z³

= x³+y³−z³ + 3x²y+3xy² − 3x²z−3y²z + 3xz²+3yz² − 6xyz

🔢 উদাহরণ ২১ — সরলীকরণ

(4m+2n)³ + 3(4m+2n)²(m−2n) + 3(4m+2n)(m−2n)² + (m−2n)³ সরল কর।

সমাধান: [ধরি 4m+2n=a, m−2n=b]

= a³+3a²b+3ab²+b³ = (a+b)³

= (4m+2n+m−2n)³ = (5m)³ = 125m³

🔢 উদাহরণ ২৩

a + b = 3 এবং ab = 2 হলে, a³ + b³ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

a³+b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b) = (3)³ − 3×2×3 = 27−18 = 9

🔢 উদাহরণ ২৪

x − y = 10 এবং xy = 30 হলে, x³ − y³ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

x³−y³ = (x−y)³ + 3xy(x−y) = (10)³ + 3×30×10 = 1000+900 = 1900

🔢 উদাহরণ ২৫

x + y = 4 হলে x³ + y³ + 12xy এর মান কত?

সমাধান:

x³+y³+12xy = x³+y³+3(x+y)·xy = x³+y³+3xy(x+y) = (x+y)³ = (4)³ = 64

🔢 উদাহরণ ২৬

a + 1/a = 7 হলে, a³ + 1/a³ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

a³+1/a³ = (a+1/a)³ − 3·a·(1/a)·(a+1/a)

= (7)³ − 3×7 = 343 − 21 = 322

✍️ কাজ করো

ab + bc এর ঘন নির্ণয় কর।
2x − 5y এর ঘন নির্ণয় কর।
2x − 3y − z এর ঘন নির্ণয় কর।
(7x−6)³ − (5x−6)³ − 6x(7x−6)(5x−6) সরল কর।
a + b = 10 এবং ab = 21 হলে, a³ + b³ এর মান নির্ণয় কর।
a + 1/a = 3 হলে, দেখাও যে a³ + 1/a³ = 18

🎯 অনুশীলনী ৪.২ — বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

তথ্য: x + 1/x = 8

প্রশ্ন ১। x³ + 1/x³ = কত?

প্রশ্ন ২। a = 1/2 হলে, (2a+1)(4a²−2a+1) এর মান কত?

📐 ধারা ৪.৩

⚗️ ঘনফলের সাথে সম্পৃক্ত আরও দুটি সূত্র

🔶 সূত্র ৭

a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)

দুই রাশির ঘনের যোগফলকে গুণনীয় আকারে প্রকাশ

🔶 সূত্র ৮

a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)

দুই রাশির ঘনের বিয়োগফলকে গুণনীয় আকারে প্রকাশ

🔢 উদাহরণ ২৮

(x² + 2) ও (x⁴ − 2x² + 4) এর গুণফল নির্ণয় কর।

সমাধান: [a³+b³ সূত্র প্রয়োগ, a=x², b=2]

(x²+2){(x²)²−x²·2+2²} = (x²)³+(2)³ = x⁶ + 8

🔢 উদাহরণ ২৯

(4a − 5b) ও (16a² + 20ab + 25b²) এর গুণফল নির্ণয় কর।

সমাধান: [a³−b³ সূত্র প্রয়োগ, a=4a, b=5b]

(4a−5b){(4a)²+(4a)(5b)+(5b)²} = (4a)³−(5b)³ = 64a³ − 125b³

✍️ কাজ করো

সূত্রের সাহায্যে (2a+3b) ও (4a²−6ab+9b²) এর গুণফল নির্ণয় কর।

📐 ধারা ৪.৪

🔬 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

উৎপাদক: যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ: যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়। যেমন: x² + 2x = x(x+2)

🔸 উৎপাদক নির্ণয়ের নিয়মসমূহ

নিয়ম (ক) — সুবিধামতো সাজিয়ে

px − qy + qx − py → px+qx−py−qy = x(p+q) − y(p+q) = (p+q)(x−y)

নিয়ম (খ) — পূর্ণ বর্গ আকারে

x² + 4xy + 4y² = (x)² + 2·x·2y + (2y)² = (x+2y)²

নিয়ম (গ) — দুটি বর্গের অন্তর হিসেবে + a²−b² সূত্র

a² + 2ab − 2b − 1 = (a+b)² − (b+1)² = (a+2b+1)(a−1)

নিয়ম (ঘ) — (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab সূত্র

x² + 7x + 10 = x² + (2+5)x + 2×5 = (x+2)(x+5)

নিয়ম (ঙ) — ঘন আকারে প্রকাশ

8x³+36x²+54x+27 = (2x)³+3(2x)²·3+3·2x·(3)²+(3)³ = (2x+3)³

নিয়ম (চ) — a³±b³ সূত্র ব্যবহার

8x³+125 = (2x)³+(5)³ = (2x+5)(4x²−10x+25)
27x³−8 = (3x)³−(2)³ = (3x−2)(9x²+6x+4)

✏️ উদাহরণ

🔢 উদাহরণ ১

27x⁴ + 8xy³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান:

= x(27x³ + 8y³) = x{(3x)³+(2y)³}

= x(3x+2y)(9x²−6xy+4y²)

🔢 উদাহরণ ২

24x³ − 81y³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান:

= 3(8x³−27y³) = 3{(2x)³−(3y)³}

= 3(2x−3y)(4x²+6xy+9y²)

✍️ কাজ করো

4x² − y²
6ab² − 24a
x² + 2px + p² − 4
x³ + 27y³
27a³ − 8

📐 ধারা ৪.৫

🔍 x² + px + q আকারের রাশির উৎপাদক

মূল কৌশল: q কে এমন দুটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে যাদের বীজগণিতীয় সমষ্টি = p এবং গুণফল = q। এই প্রক্রিয়াকে মধ্যপদ বিভাজন (Middle Term Breakup) বলে।

🔤 রাশির আকার	📖 উৎপাদকের চিহ্নের নিয়ম
x² + px + q (p,q উভয় ধনাত্মক)	উভয় উৎপাদক ধনাত্মক (+a)(+b)
x² − px + q (p ঋণাত্মক, q ধনাত্মক)	উভয় উৎপাদক ঋণাত্মক (−a)(−b)
x² + px − q (p ধনাত্মক, q ঋণাত্মক)	বড় পরম মানটি ধনাত্মক (+a)(−b)
x² − px − q (উভয় ঋণাত্মক)	বড় পরম মানটি ঋণাত্মক (−a)(+b)

🔢 উদাহরণ ৩

x² + 5x + 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [6 = 2×3, এবং 2+3=5 ✓]

x²+5x+6 = x²+2x+3x+6 = x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3)

🔢 উদাহরণ ৪

x² − 15x + 54 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [54 = (−6)×(−9), এবং −6+(−9)=−15 ✓]

x²−15x+54 = x²−6x−9x+54 = x(x−6)−9(x−6) = (x−6)(x−9)

🔢 উদাহরণ ৫

x² + 2x − 15 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [(−15) = (−3)×5, এবং −3+5=2 ✓]

x²+2x−15 = x²+5x−3x−15 = x(x+5)−3(x+5) = (x+5)(x−3)

🔢 উদাহরণ ৬

x² − 3x − 28 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [(−28) = (−7)×4, এবং −7+4=−3 ✓]

x²−3x−28 = x²−7x+4x−28 = x(x−7)+4(x−7) = (x−7)(x+4)

✍️ কাজ করো

x² − 18x + 72
x² − 9x − 36
x² − 23x + 132

📐 ধারা ৪.৬

🧮 ax² + bx + c আকারের রাশির উৎপাদক

মূল কৌশল: a × c কে এমন দুটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে যাদের যোগফল = b এবং গুণফল = a×c। তারপর মধ্যপদ ভাঙো।

🔢 উদাহরণ ৭

2x² + 9x + 10 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [2×10=20; 4×5=20 এবং 4+5=9 ✓]

= 2x²+4x+5x+10 = 2x(x+2)+5(x+2) = (x+2)(2x+5)

🔢 উদাহরণ ৮

3x² + x − 10 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [3×(−10)=−30; (−5)×6=−30 এবং −5+6=1 ✓]

= 3x²+6x−5x−10 = 3x(x+2)−5(x+2) = (x+2)(3x−5)

🔢 উদাহরণ ৯

4x² − 23x + 33 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [4×33=132; (−11)×(−12)=132 এবং −11+(−12)=−23 ✓]

= 4x²−11x−12x+33 = x(4x−11)−3(4x−11) = (4x−11)(x−3)

🔢 উদাহরণ ১০

9x² − 9x − 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: [9×(−4)=−36; 3×(−12)=−36 এবং 3+(−12)=−9 ✓]

= 9x²+3x−12x−4 = 3x(3x+1)−4(3x+1) = (3x+1)(3x−4)

✍️ কাজ করো

8x² + 18x + 9
27x² + 15x + 2
2a² − 6a − 20

🎯 অনুশীলনী ৪.৩ — বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

তথ্য: x−2, x²−4, xy−2y বীজগাণিতিক রাশি

প্রশ্ন ১। রাশিগুলোতে সাধারণ উৎপাদক কত?

প্রশ্ন ২। রাশিগুলোর ল.সা.গু. কত?

তথ্য: 3(x+y) ও 6(x²−y²) দুটি বীজগণিতীয় রাশি

প্রশ্ন ৩। রাশি দুটির গ.সা.গু. কত?

প্রশ্ন ৪। রাশি দুটির ল.সা.গু. কত?

তথ্য: 2(a+b), 4(a²−b²) এবং 12(a²b+ab²) তিনটি বীজগাণিতিক রাশি

প্রশ্ন ৫। রাশি তিনটির গ.সা.গু. কোনটি?

📐 ধারা ৪.৭

📏 বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.

সাধারণ গুণনীয়ক: যে রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটির গুণনীয়ক, তাকে উক্ত রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক বলে।

📌 গ.সা.গু. (H.C.F.)

সর্বোচ্চ সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর গুণফল

সাংখ্যিক সহগের গ.সা.গু. × বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু.

📌 ল.সা.গু. (L.C.M.)

সম্ভাব্য সকল উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল

সাংখ্যিক সহগের ল.সা.গু. × সকল মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত

✏️ উদাহরণ — গ.সা.গু.

🔢 উদাহরণ ১

9a³b²c², 12a²bc ও 15ab³c³ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান:

সংখ্যার গ.সা.গু.: 9, 12, 15 → গ.সা.গু. = 3

a³, a², a → গ.সা.গু. = a | b², b, b³ → গ.সা.গু. = b | c², c, c³ → গ.সা.গু. = c

∴ গ.সা.গু. = 3abc

🔢 উদাহরণ ২

x³ − 2x, x² − 4, xy − 2y এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রথম: x³−2x = x²(x−2)

দ্বিতীয়: x²−4 = (x+2)(x−2)

তৃতীয়: xy−2y = y(x−2)

সাধারণ উৎপাদক → ∴ গ.সা.গু. = (x−2)

🔢 উদাহরণ ৩

x²y(x³−y³), x²y²(x⁴+x²y²+y⁴) ও (x³y²+x²y³+xy⁴) এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান:

১ম: x²y(x−y)(x²+xy+y²)

২য়: x²y²(x²+xy+y²)(x²−xy+y²)

৩য়: xy²(x²+xy+y²)

∴ গ.সা.গু. = xy(x²+xy+y²)

✏️ উদাহরণ — ল.সা.গু.

🔢 উদাহরণ ৪

4a²bc, 8ab²c ও 6a²b²c এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান:

4, 8, 6 → ল.সা.গু. = 24

সর্বোচ্চ ঘাত: a², b², c

∴ ল.সা.গু. = 24a²b²c

🔢 উদাহরণ ৫

x²+x²y, x²y+xy², x³+y³ এবং (x+y)³ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান:

১ম: x²(x+y) | ২য়: xy(x+y) | ৩য়: (x+y)(x²−xy+y²) | ৪র্থ: (x+y)³

∴ ল.সা.গু. = x²y(x+y)³(x²−xy+y²)

🔢 উদাহরণ ৬

4(x²+ax)², 6(x³−a²x) ও 14x³(x³−a³) এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান:

১ম: 2²·x²(x+a)² | ২য়: 2·3·x(x+a)(x−a) | ৩য়: 2·7·x³(x−a)(x²+ax+a²)

∴ ল.সা.গু. = 2²·3·7·x³(x+a)²(x−a)(x²+ax+a²)

= 84x³(x+a)²(x³−a³)

✍️ কাজ করো

গ.সা.গু. নির্ণয় করো: 15a³b²c⁴, 25a²b⁴c³
গ.সা.গু. নির্ণয় করো: (x+2)², (x²+2x) এবং (x²+5x+6)
ল.সা.গু. নির্ণয় করো: 5x³y, 10x²y, 20x⁴y²
ল.সা.গু. নির্ণয় করো: x²−y², 2(x+y), 2x²y+2xy²
ল.সা.গু. নির্ণয় করো: a³−1, a³+1, a⁴+a²+1

🎯 অনুশীলনী ৪.৪ — বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

প্রশ্ন ১। (x − 1/x)² এর মান কত? [x+1/x=2 হলে]

প্রশ্ন ২। x³ + 1/x³ এর মান কত? [x+1/x=2 হলে]

প্রশ্ন ৩। x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত? [x+1/x=2 হলে]

📘 পরিভাষা কোষ — শব্দার্থ

শব্দে ক্লিক করুন বা ট্যাপ করুন — অর্থ দেখাবে

🔤 পরিভাষা	📖 অর্থ ও ব্যাখ্যা
সূত্র 📐	বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্ত — Formula
অনুসিদ্ধান্ত 🔸	মূল সূত্র থেকে প্রাপ্ত সহ-সিদ্ধান্ত — Corollary
উৎপাদক 🔬	কোনো রাশির গুণনীয়ক বা গুণনীয়ক রাশি — Factor
উৎপাদকে বিশ্লেষণ 🔍	কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা — Factorization
মধ্যপদ বিভাজন ✂️	x²+px+q রাশির মধ্যপদ px কে ভেঙে উৎপাদক বের করার পদ্ধতি — Middle Term Breakup
গ.সা.গু. 🔢	গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক — দুই বা ততোধিক রাশির সর্বোচ্চ সাধারণ মৌলিক উৎপাদকের গুণফল — H.C.F.
ল.সা.গু. 🔣	লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক — সম্ভাব্য সকল উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল — L.C.M.
দ্বিপদী রাশি ✌️	দুটি পদযুক্ত বীজগণিতীয় রাশি — Binomial — যেমন: a+b, 3x−2y
ত্রিপদী রাশি 🔺	তিনটি পদযুক্ত বীজগণিতীয় রাশি — Trinomial — যেমন: a+b+c, x²+5x+6
সহগ 🔢	কোনো চলরাশির সাথে গুণিত সংখ্যাটি — Coefficient — যেমন 3x² তে 3 হলো x² এর সহগ